Propriedades de Relações...

Reflexiva:
Uma relação R é reflexiva se todo elemento de A está relacionado consigo mesmo, ou seja, para todo x A: (x,x) R, isto é, para todo x A: xRx.
Exemplo:
Uma relação reflexiva em A={a,b,c}, é dada por:
R = {(a,a),(b,b),(c,c)}

Simétrica:
Uma relação R é simétrica se o fato que x está relacionado com y, implicar necessariamente que y está relacionado com x, ou seja: quaisquer que sejam x A e y A tal que (x,y) R, segue que (y,x) R.
Exemplo:
Uma relação simétrica em A={a,b,c}, é:
R = {(a,a),(b,b),(a,b),(b,a)}

Transitiva:
Uma relação R é transitiva, se x está relacionado com y e y está relacionado com z, implicar que x deve estar relacionado com z, ou seja: quaisquer que sejam x A, y A e z A, se (x,y) R e (y,z) R então (x,z) R.
Exemplo:
Uma relação transitiva em A={a,b,c}, é:
R = {(a,a),(a,c),(c,b),(a,b)}

Anti-simétrica:
Sejam x A e y A. Uma relação R é anti-simétrica se (x,y) R e (y,x) R implica que x=y. Alternativamente, uma relação é anti-simétrica: Se x e y são elementos distintos do conjunto A então x não tem relação com y ou (exclusivo) y não tem relação com x, o que significa que o par de elementos distintos (x,y) do conjunto A poderá estar na relação desde que o par (y,x) não esteja.
Exemplo:
Uma relação anti-simétrica em A={a,b,c}, é:
R = {(a,a),(b,b),(a,b),(a,c) }

Relações Inversas:

Seja R uma relação de A em B. A relação inversa de R, denotada por R-1, é definida de B em A por:
R-1 = { (y,x) BxA: (x,y) R }

Exemplo:
Sejam A={a,b,c}, B={d,e,f} e R uma relação em AxB, definida por:
R = {(a,d),(a,e),(a,f),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c.e),(c,f)}
Então:
R-1 = {(d,a),(e,a),(f,a),(d,b),(e,b),(f,b),(d,c),(e,c),(f,c)}

Observação:
O gráfico da relação inversa R-1 é simétrico ao gráfico da relação R, em relação à recta y=x (identidade).